随机事件和概率

基本概念

随机试验: 指在一种在相同条件下可以重复进行的试验. 每次试验的结果可能不同, 但是所有可能结果的集合是已知的. 每一次试验出现哪一个结果, 事先并不确定. 用大写字母\(E_1, E_2, ...\)表示
随机事件: 在一次试验中可能出现, 也可能不出现的结果称为随机事件, 简称事件, 用大写字母\(A, B, C\)等表示
- 必然事件: 每次试验中一定发生的事件, 记为\(\Omega\)
- 不可能事件: 每次试验中一定不发生的事件, 记为\(\emptyset\)
样本空间: 随机试验的每一个可能的结果称为样本点, 记为\(\omega\). 样本点的全体组成的集合称为样本空间, 记为\(\Omega\). 由一个样本点构成的事件称为基本事件. 随机事件\(A\)总是由若干个基本事件组成, 即\(A\)是\(\Omega\)的子集

事件的关系和运算

关系

包含: 事件\(A\)发生必然导致事件\(B\)发生, 则称事件\(B\)包含事件\(A\), 记为\(A\subset B\)
相等: 如果\(A\subset B\)且\(B\subset A\), 则称事件\(A\)与事件\(B\)相等, 记为\(A=B\)
积/交: 事件\(A\)和事件\(B\)同时发生的事件, 称事件该事件为积/交事件, 记为\(A\cap B\)或\(AB\)
和/并: 事件\(A\)和事件\(B\)至少有一个发生的事件, 称该事件为和/并事件, 记为\(A\cup B\)
相容: 若\(AB\neq \emptyset\), 则称事件\(A\)和\(B\)相容
互斥: 若\(AB= \emptyset\), 则称事件\(A\)和\(B\)互斥
差: 事件\(A\)发生而事件\(B\)不发生的事件, 称该事件为差事件, 记为\(A-B\)
对立/逆: 事件\(A\)不发生的事件, 称该事件为对立/逆事件, 记为\(\overline{A}\)

运算

吸收率: 若\(A\subset B\), 则\(A\cup B=B\), \(A\cap B=A\)
交换律: \(A\cup B=B\cup A\), \(A\cap B=B\cap A\)
结合律: \((A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\), \((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\)
分配律: \(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\), \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\), \(A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)\)
德摩根率: \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}, \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\)

笔记

事件运算顺序约定为先进行逆运算, 然后进行交运算, 最后进行并/差运算

文氏图

概率的定义

描述性定义

将随机事件\(A\)发生的可能性大小的度量称为事件\(A\)发生的概率, 记为\(P(A)\).

统计性定义

在相同条件下做重复试验, 事件\(A\)出现的次数\(k\)和总的试验次数\(n\)之比为事件\(A\)在\(n\)次试验中出现的频率. 当试验次数充分大的时候, 频率将"稳定"于某常数\(p\), \(n\)越大, 频率偏移这个常数\(p\)的可能性越小, 这个常数\(p\)就称为事件\(A\)的概率.

Tip

频率只是概率的估计, 而非概率本身. 也就是说, 概率的统计性定义是无法准确给出某事件的概率的, 其重要性基于以下两点:

它提供了估计概率的方法(1)

例子

在一批产品中抽取样品, 来估计该产品的合格率.

它提供了一种检验结论是否正确的准则(1)

例子

你说某批产品的合格率是95%, 我们做试验, 抽取样品进行计算, 得出的结果是合格率为20%, 远低于你说的95%, 于是毫不犹豫地否定你地结论.

公理化定义

设随机试验的样本空间为\(\Omega\), 如果对每一事件\(A\)都有一个确定的实数\(P(A)\), 且事件函数\(P(\cdot)\)满足:

非负性: \(P(A)\geq 0\)
规范性: \(P(\Omega)=1\)
可列可加性: 对任意可列个两两互不相容事件\(A_1, A_2, ..., A_n, ...\)(即\(A_iA_j=\emptyset, i\neq j, i, j=1, 2, ...\)), 有:

\(P(\cup^{\infty}_{i=1}A_i)=\sum^{\infty}_{i=1}P(A_i)\)

则称\(P(\cdot)\)为概率, \(P(A)\)为事件\(A\)的概率

古典概型和几何概型

古典概型

称随机试验的概率模型为古典概型, 如果其样本空间(基本事件空间)满足:

只有有限个样本点(基本事件)
每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样

如果古典类型的基本事件总数为\(n\), 事件\(A\)包含\(k\)个基本事件, 则\(A\)的概率为:

\(P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件A所包含的基本事件的个数}{基本事件总数}\)

由上式计算得出的概率称为\(A\)的古典概率.

几何概型

称随机试验的概率模型为几何概型, 如果:

样本空间(基本事件空间)\(\Omega\)是一个可度量的有界区域
每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样, 即样本点落入\(\Omega\)的某一可度量的子区域\(S\)的可能性大小与\(S\)的几何度量成正比, 而与\(S\)的位置与形状无关

在集合概型随机试验中, 如果\(S_A\)是样本空间\(\Omega\)的一个可度量的子区域, 则事件\(A=\)样本点落入区域\(S_A\)的概率为:

\(P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量}\)

由上式计算得出的概率称为\(A\)的几何概率.

Tip

古典概型和几何概型的区别:

基本事件有限, 等可能发生的随机试验称为古典概型
基本事件无限且具有几何度量, 等可能发生的随机试验称为几何概型

概率的基本性质与公式

性质

有界性: 对于任一事件\(A\), 有\(0\leq P(A)\leq 1\), 且\(P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1\)
单调性: 设\(A, B\)是两个事件, 若\(A\subset B\), 则有: \(P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)\geq P(A)\)

公式

逆事件概率公式: 对于任一事件\(A\), 有\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
加法公式: 对于任意两个事件\(A, B\), 有\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
笔记
- 设\(A_1, A_2, A_3\)为任意三个事件, 则有\(P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3)\)
- 若\(A_1, A_2, ..., A_n\)是两两互不相容的事件, 则有\(P(A_1\cup A_2\cup ... \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\)
减法公式: 对于任意两个事件\(A, B\), 有\(P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})\)
条件概率公式: 对于任意两个事件\(A, B\), 若\(P(A)>0\), 称在移至事件\(A\)发生的条件下, 事件\(B\)发生的概率为条件概率, 记为\(P(B|A)\), 且\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)
笔记

条件概率\(P(\cdot|A)\)是概率, 概率的一切性质和重要结论对条件概率都适用(1).
1. 例子
  - \(P(\overline{B}|A=1-P(B|A)\)
  - \(P[(B-C)|A]=P(B|A)-P(BC|A)\)
  - ...
乘法公式: 对于任意两个事件\(A, B\), 如果\(P(A)>0\), 则\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)

一般地, 对于\(n>2\), 如果\(P(A_1A_2...A_{n-1})>0\), 则: \(P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})\)
全概率公式: 如果\(\cup^n_{i=1}A_i = \Omega, A_iA_j=\emptyset(i\neq j; i, j=1, 2, ..., n)\), \(P(A_i)>0\), 则对任一事件\(B\), 有: \(B=\cup^n_{i=1}A_iB, P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)\)
贝叶斯公式(逆概率公式): 如果\(\cup^n_{i=1}A_i = \Omega, A_iA_j=\emptyset(i\neq j; i, j=1, 2, ..., n)\), \(P(A_i)>0\), 则对任一事件\(B\), 只要\(P(B)>0\), 有:

\(P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\), \(j=1, 2, ..., n\)

Tip

全概率公式和贝叶斯公式可以用下面这幅图来理解:
常称\(P(A_i)\)为\(A\)的先验概率, 称\(P(A_i|B)\)为\(A\)的后验概率

完备事件组

完备事件组指的是一组互斥且完备的事件, 这些事件共同构成了样本空间的全部, 即任何可能的结果都包含在这些事件中, 具体来说, 完备事件组具有以下两个特点:

互斥性: 任意两个不同的事件不能同时发生, 即对于任意两个事件\(A, B\), 有\(A\cap B=\emptyset\)
完备性: 这些事件的并集等于整个样本空间, 也就是说, \(\cup_i A_i=\Omega\)

事件的独立性和独立重复试验

事件的独立性

注意

互斥事件不等同于两个事件具有独立性:

互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况, 即\(AB=\emptyset\)
两个事件的独立性指的是两个事件的发生与否互相不影响

描述性定义

设\(A, B\)为两个事件, 如果其中任何一个事件发生的概率不受到另一个事件发生与否的影响, 则称事件\(A\)和\(B\)相互独立. 设\(A_1, A_2, ..., A_n\)是\(n(n\geq 2)\)个事件, 如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受到其余的某一个或几个事件发生与否的影响, 则称\(A_1, A_2, ..., A_n\)相互独立.

数学定义

设\(A, B\)为两个事件, 如果\(P(AB)=P(A)P(B)\), 则称事件\(A\)与\(B\)相互独立, 简称\(A\)与\(B\)独立.

笔记

设\(A_1, A_2, ..., A_n\)为\(n(n\geq 2)\)个事件, 如果对其中任意有限个事件\(A_{i_1}, A_{i_2}, ..., A_{i_k}, (2\leq k\leq n)\), 有:

\(P(A_{i_1}, A_{i_2}, ..., A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})...P(A_{i_k})\)

则称\(n\)个事件\(A_1, A_2, ..., A_n\)相互独立.

试验的独立性

如果各个试验结果是相互独立的, 则称这些试验是相互独立的. 即若对试验\(E_i\)中的任一结果\(A_i(i=1, 2, ..., n)\), 若事件\(A_1, A_2, ..., A_n\)相互独立, 即对其中任意\(k(2\leq k\leq n)\)个事件有\(P(\cap_{j=1}^k A_{i_j})=\prod^k_{j=1}P(A_{i_j})\), 则称\(n\)个试验\(E_1, E_2, ..., E_n\)是相互独立的.

独立试验序列概型

在同样的调教下独立重复地进行一系列完全相同的试验, 即每次试验的可能结果及其发生的概率都不变, 每次试验都是相互独立的, 称这种重复实验序列的数学模型为独立试验序列概型.

\(n\)重伯努利概型

如果每次试验只有两个结果\(A\)和\(\overline{A}\), 且在每次试验中\(A\)发生的概率都相等, 将这种试验独立重复\(n\)次, 则称这种试验的数学模型为\(n\)重伯努利概型.

单调递增/递减序列

递增序列: 如果集合序列\(A_1, A_2, ...\)满足\(A_1\subset A_2\subset ...\), 则称该集合序列为单调递增序列, 单调递增序列的极限定义为\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\cup^{\infty}_{i=1}A_i\).
递减序列: 如果集合序列\(A_1, A_2, ...\)满足\(A_1\supset A_2\supset ...\), 则称该集合序列为单调递减序列, 单调递减序列的极限定义为\(\lim_{n\rightarrow \infty}A_n=\cap_{i=1}^{\infty}A_i\).

两者都可以简写为\(A_n\rightarrow A\).

概率的连续性

如果\(A_n\rightarrow A\), 则\(P(A_n)\rightarrow P(A)\). 即如果\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_n = A\), 则\(\lim_{n\rightarrow \infty}A_n=P(A)\). 这里\(A\)的含义请参考递增序列/递减序列.