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多维随机变量及其分布

随机变量

定义

如果\(X_1, X_2, ..., X_n\)是定义在同一个样本空间\(\Omega\)上的\(n\)个随机变量, 则称\((X_1, X_2, ..., X_n)\)为\(n\)维随机变量或\(n\)维随机向量, \(X_i(i=1, 2, ..., n)\)称为第\(i\)个分量.

当\(n=2\)时, 记\((X, Y)\)为二维随机变量或二维随机向量.

分布函数

定义

对任意的\(n\)个实数\(x_1, x_2, ..., x_n\), 称\(n\)元函数\(F(x_1, x_2, ..., x_n)=P\{X_1\leq x_1, X_2\leq x_2, ..., X_n\leq x_n\}\)为\(n\)维随机变量(\(X_1, X_2, ..., X_n\))的联合分布函数.

当\(n=2\)时, 则对任意的实数\(x, y\), 称二元函数\(F(x, y)=P\{X\leq x, Y\leq y\}\)为二维随机变量\((X, Y)\)的联合分布函数, 简称分布函数, 记为\((X, Y)\sim F(x, y)\).

笔记

\(F(x, y)\)是事件\(A=\{X\leq x\}\)和\(B=\{Y\leq y\}\)同时发生的概率.

性质

  • \(F(x, y)\)是\(x, y\)的单调不减函数
    • 对任意固定的\(y\), 当\(x_1< x_2\)时, \(F(x_1, y)\leq F(x_2, y)\)
    • 对任意固定的\(x\), 当\(y_1< y_2\)时, \(F(x, y_1)\leq F(x, y_2)\)
  • \(F(x, y)\)是\(x, y\)的右连续函数
    • \(\lim_{x\rightarrow x_0^+}F(x, y)=F(x_0+0, y)=F(x_0, y)\)
    • \(\lim_{y\rightarrow y_0+}F(x, y)=F(x, y_0+0)=F(x, y_0)\)
  • \(F(-\infty, y)=F(x, -\infty)=F(-\infty, -\infty)=0, F(+\infty, +\infty)=1\)
  • 对于任意\(x_1<x_2, y_1<y_2\), 有\(P\{x_1<X\leq x_2, y_1<Y\leq y_2\}=F(x_2, y_2)-F(x_2, y_1)-F(x_1, y_2)+F(x_1, y_1)\geq 0\)

边缘分布函数

定义

设二维随机变量\((X, Y)\)的联合分布函数为\(F(x, y)\), 随机变量\(X\)与\(Y\)的分布函数\(F_X(x)\)与\(F_Y(y)\)分别称为\((X, Y)\)关于\(X\)和关于\(Y\)的边缘分布函数, 由概率性质得

\(F_X(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq x, Y<+\infty\}=\lim_{y\rightarrow +\infty}P\{X\leq x, Y\leq y\}=\lim_{y\rightarrow +\infty}F(x, y)=F(x, +\infty)\)

同理, 有\(F_Y(y)=F(+\infty, y)\).

离散型随机变量及其概率分布

联合分布率

如果二维随机变量\((X, Y)\)只能取有限对值或可列对值\((x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n), ...\), 则称\((X, Y)\)为二维离散型随机变量. 称\(p_{ij}=P\{X=x_i, Y=y_i\}, i, j=1, 2, ...\)为\((X, Y)\)的分布率或随机变量\((X, Y)\)的联合分布率, 记为\((X, Y)\sim p_{ij}\), 联合分布率常用表格形式表示.

联合分布函数

设\((X, Y)\)的概率分布为\(p_{ij}, i, j=1, 2, ...\), 则\((X, Y)\)的联合分布函数为: \(F(x, y)=P\{X\leq x, Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij}\).

设\(G\)是平面上的某个区域, 则\(P\{(X, Y)\in G\}=\sum_{(x_i, y_j)\in G}p_{ij}\)

边缘分布函数

  • \(X\)的边缘分布函数: \(p_{i\cdot}=P\{X=x_i\}=\sum^{\infty}_{j=1}P\{X=x_i, Y=y_j\}=\sum^{\infty}_{j=1}p_{ij}(i=1, 2, ...)\)
  • \(Y\)的边缘分布函数: \(p_{\cdot j}=P\{Y=y_j\}=\sum^{\infty}_{i=1}P\{X=x_i, Y=y_j\}=\sum^{\infty}_{i=1}p_{ij}(i=1, 2, ...)\)

条件分布

如果\((X, Y)\sim p_{ij}(i, j=1, 2, ...)\), 对固定的\(j\), 如果\(p_{\cdot j}=P\{Y=y_j\}>0\), 则称\(P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}(i=1, 2, ...)\)为\(X\)为\(Y=y_j\)条件下的条件分布.

同理, 对固定的\(i\), 如果\(p_{i\cdot}>0\), 可定义\(Y\)在\(X=x_i\)条件下的条件分布\(P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}(j=1, 2, ...)\).

连续型随机变量及其概率密度

概率密度/联合分布函数

如果二维随机变量\((X, Y)\)的联合分布函数\(F(x, y)\)可以表示为\(F(x, y)=P\{X\leq x, Y\leq y\}=\int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv\), 其中\(f(x, y)\)是非负可积函数, 则称\((X, Y)\)为二维连续型随机变量, 称\(f(x, y)\)为\((X, Y)\)的概率密度, 记为\((X, Y)\sim f(x, y)\).

二元函数\(f(x, y)\)是概率密度的充分必要条件: \(f(x, y)\geq 0, \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1\).

设\(G\)为平面上的某个区域, 则\(P\{(X, Y)\in G\}=\iint_G f(x, y)dxdy\).

若\(f(x, y)\)在点\((x, y)\)处连续, 则\(\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x\partial y}=f(x, y)\).

若\(F(x, y)\)连续且可导, 则\((X, Y)\)是连续型随机变量, 且\(\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x\partial y}\)是它的概率密度.

边缘概率密度/边缘分布函数

设\((X, Y)\sim f(x, y)\), 则\(X\)的边缘分布函数为\(F_X(x)=F(x, +\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(u, v)dv]du\), 其概率密度\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy\)称\(f_X(x)\)为\((X, Y)\)关于\(X\)的边缘概率密度.

同理, \(Y\)也是连续型随机变量, 其概率密度为\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx\).

条件分布函数/条件概率密度

设\((X, Y)\sim f(x, y)\), \(f_X(x)>0\), 则称\(f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}\)为\(Y\)在\(X=x\)条件下的条件概率密度.

同理可定义\(X\)在\(Y=y\)条件下的条件概率密度\(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}(f_Y(y)>0)\).

称\(F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(y|x)dy=\int^y_{-\infty}\frac{f(x, y)}{f_X(x)}dy\)为\(Y\)在\(X=x\)条件下的条件分布函数.

同理可定义\(X\)在\(Y=y\)条件下的条件分布函数\(F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty}^x\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}dx\).

常见的随机变量分布类型

二维均匀分布

称\((X, Y)\)在平面有界区域\(D\)上服从均匀分布, 如果\((X, Y)\)的概率密度为\(f(x, y)=\frac{1}{S_D}, (x, y)\in D; f(x, y)=0\), 其他. 其中\(S_D\)为区域\(D\)的面积.

二维正态分布

如果\((X, Y)\)的概率密度为\(f(x, y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2]\}\), 其中\(\mu_1\in R, \mu_2\in R, \sigma_1>0, \sigma_2>0, -1<\rho<1\), 则称\((X, Y)\)服从参数为\(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\)的二维正态分布, 记为\((X, Y)\sim N(\mu_1, \mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)\), 此时有

  • \(X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2), Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\), \(\rho\)为\(X\)和\(Y\)的相关系数, 即\(\rho=\frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\frac{Cov(X, Y)}{\sigma_1\sigma_2}\)
  • \(X, Y\)的条件分布都是正态分布
  • \(aX+bY(a\neq 0\ or\ b\neq 0)\)服从正态分布
  • \(X\)与\(Y\)相互独立的充要条件是\(X\)与\(Y\)不相关, 即\(\rho=0\)

随机变量的相互独立性

定义

设二维随机变量\((X, Y)\)的联合分布函数为\(F(x, y)\), 边缘分布函数为\(F_X(x), F_Y(y)\), 如果对任意实数\(x, y\)都有\(F(x, y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\), 则称\(X\)与\(Y\)相互独立, 否则称\(X\)与\(Y\)不相互独立.

如果\(n\)维随机变量\((X_1, X_2, ..., X_n)\)的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积, 即\(F(x_1, x_2, ..., x_n)=F_1(x_1)\cdot F_2(x_2)\cdot ... \cdot F_n(x_n)\), 其中\(F_i(x_i)(i=1, 2, ..., n)\)为\(X_i\)的边缘分布函数, \(x_i\)为任意实数, 则称\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立.

充要条件

\(n\)个随机变量\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立\(\Leftrightarrow\)对任意的\(n\)个实数\(x_i(i=1, 2, ..., n)\), \(n\)个事件\(\{X_1\leq x_1\}, \{X_2\leq x_2\}, ..., \{X_n\leq x_n\}\)相互独立.

离散型
  • 设\((X, Y)\)为二维离散型随机变量, 则\(X\)与\(Y\)相互独立\(\Leftrightarrow\)联合分布等于边缘分布相乘, 即\(P\{X=x_i, Y=y_i\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\}(i, j=1, 2, ...)\)
  • 设\(n\)个离散型随机变量\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立\(\Leftrightarrow\)对任意的\(x_i\in D_i=\{X_i\)一切可能值\(\}(i=1, 2, ..., n)\)有\(P\{X_1=x_1, ..., X_n=x_n\}=\prod_{i=1}^n P\{X_i=x_i\}\)
连续型
  • 设#\((X, Y)\)为二维连续型随机变量, 则\(X\)与\(Y\)相互独立\(\Leftrightarrow\)概率密度等于边缘概率密度相乘, 即\(f(x, y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\)
  • 设\((X_1, X_2, ..., X_n)\)为\(n\)维连续型随机变量, 则\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立\(\Leftrightarrow\)概率密度等于边缘概率密度相乘, 即\(f(x_1, x_2, ..., x_n)=f_1(x_1)\cdot f_2(x_2)\cdot ...\cdot f_n(x_n)\), 其中\(f_i(x_i)\)为\(X_i\)的边缘概率密度

性质

  • 设\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立, 则其中任意\(k(2\leq k\leq n)\)个随机变量也相互独立
  • 两个多维随机变量\((X_1, X_2, ..., X_n)\)与\((Y_1, Y_2, ..., Y_m)\)相互独立, 如果对任意实数\(x_i(i=1, 2, ..., n)\)与\(y_j(j=1, 2, ..., m)\)有\(P\{X_1\leq x_1, X_2\leq x_2, ..., X_n\leq x_n; Y_1\leq y_1, Y_2\leq y_2, ..., Y_m\leq y_m\}=P\{X_1\leq x_1, X_2\leq x_2, ..., X_n\leq x_n\}\cdot P\{Y_1\leq y_1, Y_2\leq y_2, ..., Y_m\leq y_m\}\). 即联合分布函数等于各自的分布函数相乘\(F(x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_m)=F_1(x_1, x_2, ..., x_n)\cdot F_2(y_1, y_2, ..., y_m)\)
  • 设\((X, Y)\)为二维离散型随机变量, \(X\)与\(Y\)独立, 则条件分布等于边缘分布: \(P\{X=x_i|Y=y_i\}=P\{X=x_i\}(P\{Y=y_i\}>0)\), \(P\{Y=y_i|X=x_i\}=P\{Y=y_i\}(P\{X=x_i\}>0)\)
  • 设\((X, Y)\)为二维连续型随机变量, \(X\)与\(Y\)独立, 则条件概率密度等于边缘概率密度: \(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}=f_X(x)(f_Y(y)>0)\), \(f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}=f_Y(y)(f_X(x)>0)\)
  • 若\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立, \(g_1(x), g_2(x), ..., g_n(x)\)为一元连续函数, 则\(g_1(X_1), g_2(X_2), ..., g_n(X_n)\)相互独立

多维随机变量函数的分布

定义

设\(X, Y\)为随机变量, \(g(x, y)\)为二元函数, 则以随机变量\(X, Y\)作为变量的函数\(U=g(X, Y)\)也是随机变量, 称之为随机变量\(X, Y\)的函数.

求法

已知\((X, Y)\)的联合分布, 求函数\(Z=g(X, Y)\)的分布, 首先要确定\(X, Y\)的类型, 而后才用相应的公式计算:

  • 如果\((X, Y)\)为二维离散型随机变量, 则\(Z=g(X, Y)\)也是离散型的, 先确定\(Z\)的值, 而后求其相应的概率, 求其相应的概率, 用一般解题模式(矩阵法)即可求得\(Z\)的分布
  • 如果\(X, Y\)其中一个离散型的, 另一个是非离散型的, 我们总是将事件对离散型的一切可能值进行全集分解, 而后应用全概率公式求得\(Z\)的分布
  • 如果\((X, Y)\)是二维连续型随机变量, 即\((X, Y)\sim f(x, y)\), 则\(Z=g(X, Y)\)的分布函数\(F(z)=P\{g(X, Y)\leq z\}=\iint_{g(x, y)\leq z}f(x, y)dxdy\)

常见函数的分布及卷积公式

和的分布

设\((X, Y)\sim f(x, y)\), 则\(Z=X+Y\)的概率密度为\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y)dy\).

当\(X\)与\(Y\)相互独立时, 有卷积公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy\).

常见分布的可加性

有些相互独立且服从同类型分布的随机变量, 其和的分布也是同类型的, 它们是二项分布, 泊松分布, 正态分布与\(\mathcal{X}^2\)分布.

设随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立, 则:

  • 若\(X\sim B(n, p), Y\sim B(m, p)\), 则\(X+Y\sim B(n+m, p)\), 注意\(p\)相同
  • 若\(X\sim P(\lambda_1), Y\sim P(\lambda_2)\), 则\(X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)
  • 若\(X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2), Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\), 则\(X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)\)
  • 若\(X\sim \mathcal{X}^2(n), Y\sim \mathcal{X}^2(m)\), 则\(X+Y\sim \mathcal{X}^2(n+m)\)

差的分布

设\((X, Y)\sim f(x, y)\), 则\(Z=X-Y\)的概率密度为\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, x-z)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y+z, y)dy\).

当\(X\)与\(Y\)独立时, 有\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)(y+z)f_Y(y)dy\).

积的分布

设\((X, Y)\sim f(x, y)\), 则\(Z=XY\)的概率密度为\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f(x, \frac{z}{x})dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|y|}f(\frac{z}{y}, y)dy\).

商的分布

设\((X, Y)\sim f(x, y)\), 则\(Z=\frac{X}{Y}\)的概率密度为\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(yz, y)dy\).

\(max\{X, Y\}\)分布

设\((X, Y)\sim F(X, Y)\), 则\(Z=max\{X, Y\}\)的分布函数为\(F_{max}(z)=P\{max\{X, Y\}\leq z\}=P\{X\leq z, Y\leq z\}=F(z, z)\).

当\(X\)与\(Y\)独立时, \(F_{max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z)\).

\(min\{X, Y\}\)分布

设\((X, Y)\sim F(x, y)\), 则\(Z=min\{X, Y\}\)的分布函数为\(F_{min}(z)=P\{min\{X, Y\}\leq z\}=P\{\{X\leq z\}\cup \{Y\leq z\}=P\{X\leq z\}+P\{Y\leq z\}-P\{X\leq z, Y\leq z\}=F_X(z)+F_Y(z)-F(z, z)\).

当\(X\)与\(Y\)独立时, \(F_{min}(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z)F_y(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\).

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