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前馈神经网络

架构

前馈神经网络, Feedforward NN, 的架构如图所示.

具体说明如下:

  • 输入层: 位于网络最底层, 输入变量\(x_1, x_2, ..., x_n\)表示输入特征. 每个输入节点代表一个特征, 输入层只复杂将数据传递到下一层(隐藏层), 不执行任何计算
  • 隐藏层: 网络中间的层. 每个隐藏层的神经元接受来自上一层的加权求和输入, 并加上一个偏置项\(b_m\), 然后通过激活函数\(f\)进行线性变换, 公式为\(o_m=f(z_m)=f(\sum_{i=1}^n w_{im}x_i+b_m)\)
  • 输出层: 位于网络最顶层, 输出结果\(o_k\)是隐藏层经过类似的加权和计算后的输出, 公式为\(o_k=f(z_k)=f(\sum_{i=1}^m w_{wk}o_i+b_k)\)

除此之外, FNN还有两个非常重要的特征:

  • 每一个神经元只接受前一个层的输出
  • 当前层的每一个神经元都与前一个层的所有神经元相连
  • 每个神经元的输入在完成加权和计算后, 会通过一个激活函数, 这个激活函数不局限于阶跃函数, 可以是ReLu, Sigmoid, Tanh函数, 最常用的是Sigmoid函数. 特别注意, 这个激活函数要可微

反向传播算法

对于每一个训练样本\(\{\bm{x}, t\}\), \(\bm{x}=\{x_1, x_2, ..., x_n\}\), \(t\)为其标签. 将其传入网络, 直到输出层, 这个过程称为正向传播, 将其输出\(o\)与标签\(t\)进行比较, 计算误差, 根据误差, 从输出层到输入层逐级反向传播, 调整每个神经元的权重, 以减小误差, 这个过程就是反向传播. 权重的更新公式为\(w_{pq}^{new}=w_{pq}^{old}+\Delta w_{pq}\). 这种过程会被不断重复, 即正向->反向->正向->反向, 直到输出层输出结果的误差在可以接受的范围内. "正向->反向"这样的一次更新就成为一次迭代, 或一个批次.

那么, 我们怎么计算这个权重变化\(\Delta w_{pq}\)的呢? 参考线性回归, 我们可以定义一个误差损失函数然后使用梯度下降算法解决. 如均方误差函数, MSE. 每一次迭代/每一个批次对应于下山的"一步", 在山上的每一个位置对应于一组权重配置, 梯度的方向是误差增加最快的方向, 沿着负梯度的方向移动则可以使误差减小. 目标是通过调整权重, 使模型"下坡", 最终达到地形的最低点, 这样误差最小, 模型性能最佳. 用来下山的步子被称为"学习率", 这是算法的一个超参数.

要注意的是, 梯度下降算法并不保证能找到全局最小值, 它只会找到基于起点的最近的局部最小值.

假设 \(w_{pq}(t)\)表示的是从神经元\(p\)到神经元\(q\)在\(t\)这个时间的权重, 那么下一次在\(t+1\)这个时间的权重为\(w_{pq}(t+1)=w_{pq}(t)+\Delta w_{pq}\), 其中\(\Delta w_{pq}=\eta\cdot \delta_q\cdot o_p\), 即权重变化与神经元\(p\)在激活函数激活后的输出\(o_p\), 神经元\(q\)的误差\(\delta_q\)成正比.

神经元\(q\)的误差\(\delta_q\)要分两种情况计算:

  1. 若\(q\)是输出层的神经元, 则\(\delta_q=(t_q-o_q)f'(z_q)\), 见图
  2. 若\(q\)是隐藏层的神经元, 则\(\delta_q=f'(z_q)\sum_i w_{qi}\delta_i\), 见图

注意, \(i\)是\(q\)后面的神经元, 即顺序为\(p\rightarrow q\rightarrow i\); 这里的\(z_q\)是在激活函数激活前的输出, \(o_q=f(z_q)\). 可以被证明\(f'(z_q)=f(z_q)(1-f(z_q))\)(前提是使用sigmoid激活函数), 所以有\(f'(z_q)=o_q(1-o_q)\). 上面的误差计算公式可以写为:

  1. 若\(q\)为输出层神经元, 则\(\delta_q=(t_q-o_q)o_q(1-o_q)\)
  2. 若\(q\)为隐藏层神经元, 则\(\delta_q=o_q(1-o_q)\sum_i w_{qi}\delta_i\)

注意, \(i\)是\(q\)后面的神经元, 即顺序为\(p\rightarrow q\rightarrow i\).

Tip

🌈🥚: 反向传播公式推导请见这里.

训练过程

  1. 初始化所有的权重和截距为较小的随机数
  2. 重复循环, 直到停止条件被满足
    1. 正向传播: 计算神经网络的输出
    2. 反向传播
      1. 计算输出层神经元的误差\(\delta\), 更新输出层的权重和截距
      2. 从输出层开始, 对于神经网络的每一层, 重复循环, 直到输入层
        1. 反向传播\(\delta\)
        2. 更新两层之间的权重
  3. 检查是否满足条件, 若训练集的误差已经低于某一个值或已经达到了最大轮次, 则停止循环
例子

假设学习率为\(0.9\).

其他梯度下降算法

标准的梯度下降算法计算出\(\sum_i w_{qi}\delta_i\), 所有的误差之后再更新权重\(\delta_q\), 而随机梯度下降算法随机选一个\(i\)层神经元来计算\(\delta_q\). 而小批量梯度下降是选取一小部分\(i\)层神经元来计算\(\delta_q\).

常用的优化算法总结:

  • 标准梯度下降, standard gradient descent
  • 随机梯度下降, SGD, stochastic gradient descent
  • 动量法, momentum
  • 自适应梯度算法, adagard
  • Nesterov加速算法, NAG
  • RMSProp
  • AdaDelta
  • Adam

通用逼近定理

根据Cyberko和Hornik等人在1989年的研究, 任何连续函数都可以通过一个单隐藏层的神经网络, 以任意小的误差进行逼近. 这意味着即使是简单的神经网络, 也能处理复杂的连续函数. 根据Cyberko 1988年的研究, 任何函数(包括不连续函数)都可以通过一个具有两个隐藏层的神经网络, 以任意小的误差进行逼近. 这意味着即使是非连续的复杂函数, 神经网络也能够很好的逼近.

这两个定理属于存在性定理, 也就是说, 它们仅仅说明了在理论上, 这样的神经网络能够逼近任意的函数, 但是并没有告诉我们应该如何选择网络的具体架构(如隐藏层侧数量, 每层神经元的数量等)以及如何设置超参数.

神经元的数量

输入层

  • 数值属性: 每个属性对应一个神经元
  • 类别属性: 如果该属性有\(k\)个值, 那么就需要\(k\)个神经元, 并使用one-hot编码方式. 这种编码方式将具有\(k\)个值的属性表示为\(k\)个二进制的属性, 只有一个位置是\(1\), 其余位置是\(0\), 如假设一个天气属性有三个取值, 晴天, 阴天, 雨天, 那么, 晴天可以表示为\(1\ 0\ 0\), 阴天可以表示为\(0\ 1\ 0\), 雨天可以表示为\(0\ 0\ 1\)

输出层

  • \(k\)类问题: 对于一个有\(k\)个类别的问题, 输出层会有\(k\)个神经元, 也用one-hot编码
  • 二分类问题: 可以使用两个神经元, 使用one-hot编码; 也可以使用一个神经元, 配合sigmoid激活函数, 若输出值接近\(0\), 属于第一类, 接近\(1\)则属于第二类

隐藏层

隐藏层神经元对误差的影响如图.

  • 隐藏层神经元过多: 导致过拟合
  • 隐藏层神经元过少: 导致欠拟合

思想就是开始的时候使用较少的神经元, 然后逐步增加神经元的数量, 直到模型的误差不再显著减少.

  1. 一开始使用较少的隐藏神经元来初始化网络
  2. 训练网络, 直到均方误差或其他损失指标不再显著减少
  3. 此时, 向隐藏层中添加一些新神经元, 并使用随机初始化的权重重新训练网络, 均方误差会减少, 如图
  4. 重复上述步骤, 直到满足终止条件, 例如添加新神经元不会导致显著的误差减少, 或者隐藏层达到设定的最大大小

学习率

神经网络的性能和学习率的相关性非常大.

  • 若学习率太小: 收敛地很慢
  • 若学习率很大: 振荡, 超出最小值

我们无法在训练前就预知最优的学习率.

学习率可以是固定的, 也可以随时间变化. 后者一开始学习率交大, 随着时间推移, 慢慢减小. 一开始学习率较大能够造成更大的权重变化, 能够减少训练批次, 甚至还可能跳过某些局部最小吃; 而后, 学习率慢慢减小, 防止振荡的发生. 公式有两种:

  • \(\eta_n = \frac{\eta_{n-1}}{1+d*n}\)
  • \(\eta_n = \eta_0 e^{-dn}\)

其中, \(\eta_n\)表示第\(n\)批次的学习率, \(d\)是一个超参数, 表示衰减率.

动量

动量, momentum, 通过在权重更新公式中引入一个额外的动量项, 使得当前的权重更新依赖于之前的更新, 从而减少振荡并允许使用更大的学习率. 计算公式为\(\Delta w_{pq}(t)=\eta\delta_q o_p + \mu(w_{pq}(t)-w_{pq}(t-1))\).

初始化

神经网络模型的性能非常依赖于权重和截距的初始化.常见的做法有:

  • 标准的做法: 从\(-1\)到\(1\)之间选择小的随机数
  • Xavier初始化: 权重从一个正态分布中产生, \(\sigma=\sqrt{\frac{2}{N_{in}+N_{out}}}\), 其中\(N_{in}\)是输入神经元的数量, \(N_{out}\)是输出神经元的数量, 注意, 这里的输入输出神经元不是整个神经网络的输入输出神经元, 是相对于当前层神经元来说的上一层/下一层神经元, 当前层神经元就是权重/截距待更新的神经元

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