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降维

动机

有一些机器学习算法的样本可能包含成百上千个特征. 这就会导致训练时候的维度很高, 进而导致训练速度变慢, 不可靠的分类(样本在高维空间的分布非常稀疏), 过拟合, 不易于解释, 无法可视化(人类只能翻译低维数据, 最高\(3\)维). 并且不是所有的特征对于结果都是重要的, 需要的是找到一小个必须的, 充分的特征子集以进行分类. 降维就是一个除去多余的, 重复的特征并减少噪音的过程.

PCA

Principle Component Analysis (PCA), 主成分分析, 是一种最人们的降维方法, 又被称为特征投影方法. 主要思想是找到一个当前维度的子维度, 然后将数据投影到新的维度上. 新的维度对应的训练集(投影)可以被用作机器学习算法的输入用于训练模型.

现在, 我们来看一个例子, 请解答, 下列数据沿着哪根轴的离散程度最大, \(X\)还是\(Y\)?

答案是\(X\)轴.

我们再来看另一个例子, 请解答, 下列数据沿着哪根轴的离散程度最大, \(X\), \(Y\)还是其他轴?

答案是\(Z_1\)轴, 如图所示.

注意看上图, 我们有两个多出来的轴, 一个是\(Z_1\), 另一个是\(Z_2\), \(Z_1\)方向的离散程度是最大的, \(Z_2\)方向的离散程度是最小的. 事实上, \(Z_1\)和\(Z_2\)是\(X\)和\(Y\)的线性组合: \(Z_1=1\times X+1\times Y\), \(Z_2=-1\times X+1\times Y\). 事实上, 我们可以想象, 将这些数据投影到\(Z_1\)轴上, 投影后的值为在\(Z_1\)轴上的坐标, 投影后的值的方差(关于什么是方差, 请见这里)表示的就是数据的离散程度, 而数据分布越离散, 每个数据点的概率取值就比较小, 此时该分布的熵就更大, 包含更多信息.1

现在, 有\(N\)个样本, 每个样本有\(m\)个特征(维度), 目标是找到\(k\)个新的坐标轴\(Z_1, Z_2, ..., Z_k(k<m)\), 这些坐标轴之间相互正交(不相关)且数据在轴上离散程度的排序为\(Var(Z_1)>Var(Z_2)>...>Var(Z_k)\), 我们称\(Z_1, ..., Z_k\)是主成分. 主成分是在数据中找到的新的坐标轴, 这些坐标轴按照数据在上面离散程度(方差)的大小进行排序, 每个主成分都是原始特征的线性组合. 第一个主成分是使得数据方差最大的方向, 第二个主成分是与第一个主成分正交的条件下, 方差最大的方向, 依此类推... 由于我们选出的是\(k\)个轴, 所以原始数据从\(m\)维降为了\(k\)维. 如果我们选择了\(k=m\)个轴, 则相当于没有降维, 也就是说仅仅只是更换了坐标系, 复杂程度没有降低.

对于上面的例子, 原始维度为\(2\)维, 坐标轴为\(X\)和\(Y\), \(Z_1\)是数据方差最大的方向, 我们通过线性组合\(X\)和\(Y\), 将数据降为\(1\)维. 如图, 红色的点就是将原始绿点映射到第一主成分\(Z_1\)后的数据, 我们只需要用\(Z_1\)的坐标描述红点就行了.

确定PC的数量

由于所有的主成分都是正交的, 所以彼此之间是不相关的, 因此这些主成分之间的方差满足\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\), 即样本的总方差等于所有主成分的方差之和.

那么, 我们怎么选择需要多少的主成分呢? 是一个? 两个? 还是\(m-1\)个? 主要的方法有两种:

  1. 设置一个最小方差百分比, 比如\(95\%\), 然后选择前\(k\)个主成分\(Z_1, Z_2, ..., Z_k\), 使得它们能够解释总方差的\(95\%\). 如你有一个包含\(100\)个特征的数据集, 通过PCA, 你计算出每个主成分能够解释的方差百分比, 结果如下: 第一个主成分解释了\(40\%\)的方差, 第二个主成分解释了\(30\%\)的方差, 第三个主成分解释了\(15\%\)的方差, 第四个主成分解释了\(10\%\)的方差, 其余的\(96\)个主成分解释了\(5\%\)的方差, 如果你想保留总方差的\(95\%\), 你可以选择前四个主成分, 来替代原来的\(100\)个主成分

  2. 肘部法, Elbow Method. 绘制主成分的数量和累积方差图, 通常会在曲线上出现一个"肘点", 表示方差的增长速度开始减缓的地方, 这通常是一个合理的选择, 因为在此之后增加更多的维度带来的方差增益有限, 如下图, 总方差的\(95\%\)对应的是\(153\)维, 而肘点对应的是\(100\)维

确定PC

我们可以通过奇异值分解, Singular Value Decomposition, SVD确定PC. 它是一种标准的矩阵分解方法, 能够进行坐标系的变换. 具体来说, 任何一个\(n\times m(n\geq m)\)的矩阵\(\bm{X}\)可以被分解为三个矩阵的乘积: \(\bm{X}=\bm{U}\times \bm{\Lambda} \times \bm{V^T}\), 其中:

  • \(\bm{U}\): 这是一个\(n\times m\)(无降维), \(n\times k\)(有降维)的正交矩阵
  • \(\bm{V^T}\): 这是一个\(m\times m\)(无降维), \(k\times m\)(有降维)的正交矩阵\(V\)的转置
  • \(\bm{\Lambda}\): 这是一个\(m\times m\)(无降维), \(k\times k\)(有降维)的对角矩阵, 其中包含奇异值

对应到PCA中, 这些矩阵的含义是:

  • \(\bm{X}\): 原始样本数据, 原始坐标系
  • \(\bm{U}\): 数据在新坐标系(左奇异向量空间)中的表示, 如第\(i\)行的数据包含的是在新坐标系下的坐标, 即投影后的新坐标
  • \(\bm{\Lambda}\): 数据在新坐标系中尺度的变化. 每个奇异值\(\lambda_i\)对应一个特定方向(特定主成分), 表示数据在该方向上的尺度或者重要性, 奇异值越大, 意味着数据在对应方向上的变动越大, 离散程度越高, 方差越大, 熵越大, 在主成分排序里面越靠前
  • \(\bm{V}\): 定义了新的坐标系(右奇异向量空间)

经过分解后, 原始样本数据可以被写为\(\bm{X}=\lambda_1\bm{u_1}\bm{v_1}^T+\lambda_2\bm{u_2}\bm{v_2}^T+...+\lambda_m\bm{u_m}\bm{v_m}^T\), 其中, \(\bm{v_1}\), \(\bm{v_2}, ..., \bm{v_m}\)对应的就是第\(1\)到第\(m\)主成分. 对于降维操作来说, 我们只需要其中的\(k(k<m)\)个主成分, 所以\(\bm{X}_{reduced}=\lambda_1\bm{u_1}\bm{v_1}^T+\lambda_2\bm{u_2}\bm{v_2}^T+...+\lambda_k\bm{u_k}\bm{v_k}^T\)

可以在这里找到一个例子.

压缩

举一个灰度图像压缩的例子. 对于一张没有压缩的灰度图像, 有\(n\times m\)像素, 在未压缩之前, 我们需要存储\(n\times m\)个整数.

现在, 我们进行压缩. 我们会取前\(k\)个主成分, 我们需要存储:

  • \(k\)个奇异值
  • \(\bm{U}\)矩阵的前\(k\)列, 总共\(k\times n\)个数
  • \(\bm{V}\)矩阵的前\(k\)列, 总共\(k\times m\)个数

总共, 需要存储\(k\times (1+n+m)\)个数. 压缩率为\(r=\frac{k(1+n+m)}{n\times m}\). 下面是一张表示压缩前和压缩后显著差异的图示.

  1. 郑之杰. (2011, April 20). 主成分分析(Principal Component Analysis, PCA). 郑之杰的个人网站. https://0809zheng.github.io/2020/04/11/PCA.html ↩

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